В кариерата си е работил с режисьори като Стивън Спилбърг, Сидни Лъмет, Браян де Палма, Жан-Жак Ано. Конъри е носител на "Оскар" за филма "Недосегаемите", както и на награди БАФТА, "Златен глобус" и много други.
През 2000 г. е удостоен с орден на Британската империя от кралица Елизабет Втора.